数学民俗学：穿越时空的数学文化探索

https://www.youtube.com/watch?v=UrxVG-UEG74

这段视频记录的是一个非常有趣的研讨会，主题叫 “数学民俗学”。简单来说，就是一群顶尖的数学家、历史学家聚在一起，不去研究最前沿的数学难题，反而花了一整年时间，去读几百年前的老古董——牛顿、黎曼等人的原始手稿。

下面我用大白话把他们的核心发现和讨论串起来：

1. 他们在干嘛？—— “考古式”读数学

• 不看公式，看图说话：他们发现，牛顿写《自然哲学的数学原理》时，几乎不用方程式，全靠复杂的几何图形来推导万有引力定律。这跟我们现在学的物理完全是两码事。所以，读牛顿的书就像学一门新语言。
• 不光看数学，还要看八卦：为了搞懂牛顿为啥这么写，他们还得去看牛顿的神学研究、炼金术笔记，甚至是他对《圣经》预言的狂热解读。结论是：牛顿这个人太复杂了，你不能只看他的数学，得把他当成一个完整的人来研究。

2. 他们最大的收获是什么？（每个人的“啊哈”时刻）

• 历史学家阿尔玛：发现以前的数学论文居然会讨论哲学、神学，跟现在的论文完全不同。这让她想到：既然过去数学的样子可以变，那未来的数学是不是也可以换个写法？
• 数学家加文：读了牛顿的原始信件后，感觉牛顿从一个冷冰冰的课本人物变成了一个“活生生、充满激情的人”。他还分享了一个趣事：一位叫斯廷罗德的天才数学家，年轻时在工厂打工，给导师写信说定理是“用血和汗铭刻在脑海里”的，后来去了普林斯顿，还抱怨那里没地方吐痰。
• 数学家凯伦：发现19世纪的几何学革命（比如黎曼几何）的源头，居然是哲学家康德！当时的数学家不是在解决物理问题，而是在争论“空间到底是我们脑子里天生就有的，还是后天经验告诉我们的？”——这完全是哲学问题。
• 主持人阿什：发现历史上几乎所有大数学家都认为“数学是通往真理的唯一道路”。但他本人其实觉得数学更像是人类“发明”的工具，而不是“发现”的真理。

3. 他们为什么要干这件事？（对今天的启示）

这才是这场讨论的高潮。他们觉得，现在做这件事特别有意义，因为：

• AI来了，数学慌了：如果AI能自动推导公式、证明定理，那数学家还剩什么价值？他们觉得，必须搞清楚数学里哪些是只有“人”才能做的事，比如创造力、直觉、审美，甚至是做数学时那种“心流”般的平静和快乐。
• “真理”没人信了：现在网上说什么的都有，真假难辨。数学家觉得，数学是少数还能讲“绝对真理”的地方，这种“硬核”的确定性在混乱的世界里很重要。
• 数学不是冷冰冰的工具：有人引用了一句很燃的话：“数学家在精神上应该和人文主义者站在一起。数学家是最自由、最有个性的艺术家。”

一句话总结

这群顶级学者花了一年时间，不是为了学新知识，而是为了“往回看”。他们发现，想要知道数学在未来该往哪儿走，得先弄明白数学在过去是怎么来的，以及那些创造数学的人，心里到底在想什么。

以下是对该视频采访节目内容的分段和详细要点总结。

第一部分 研讨会介绍与背景 （0% - 20%）

1. 主持人开场与介绍：

   • 主持人Ash Wenitesh（数学学院教授）介绍本次讨论的主题是高等研究院（IAS）今年举办的一个非传统研讨会，名为“数学民俗学”。
   • 说明会议流程：大部分时间将是台上嘉宾的讨论，他本人先做简短介绍，以便后续讨论更有意义。

2. 研讨会的基本情况：

   • 参与人员：主要由数学家组成，但也包括专业数学作家和历史学家。
   • 活动内容：每周集体阅读一系列关于数学及数学周边（“about and around”）的历史文献，并进行讨论。
   • 时间跨度：阅读材料可追溯到古希腊，但大量集中在17世纪和19世纪。
   • 阅读范围：既包括纯粹的数学著作，也包括这些数学家撰写的关于数学之外世界的文章，以及非数学家对数学的观察和评论。

3. 研讨会的独特定位：

   • 明确这不是前沿数学研讨会，而是刻意选择其对立面——即历史性的、非前沿的数学内容。
   • 点明讨论的核心问题之一：为什么一群数学家会认为做这样的事是有价值的。

4. 案例分析：艾萨克·牛顿的《自然哲学的数学原理》：

   • 展示内容：展示了牛顿《原理》中的一页，这一页对应着科学史上的重要时刻——牛顿从行星观测中推导出万有引力的平方反比定律。
   • 数学难度：指出即使以今天的标准看，这也是非常高深的数学，许多本科课程甚至会跳过这个推导。
   • 文本特征：最引人注目的是，这个推导几乎没有使用方程，而是主要依靠几何图形。这与任何现代的数学处理方式都截然不同。在现代数学中由方程完成的工作，在这里完全由图解完成。
   • 阅读体验：主持人描述自己阅读时需要学习一种新的“语言”——解读图中编码信息的古老语言。这引发了一个问题：牛顿为何选择这种表达方式？

5. 理解牛顿的关键：超越数学本身：

   • 仅仅阅读牛顿的数学著作无法理解他为何采用几何方式写作。
   • 必须了解牛顿所处的文化背景，包括当时关于数学在自然科学中的恰当角色以及获取确定性的正确方式的辩论。
   • 必须将牛顿视为一个完整的人，他不仅是一位数学家，还对神学、炼金术和神秘学有着浓厚的兴趣，甚至可能超过了对科学工作的兴趣。
   • 例证：展示了牛顿对《圣经》预言极其详细的评注，并强调这部分牛顿与《原理》的写作风格并非毫无关联。

6. 研讨会主题总结：

   • 研讨会的宗旨不仅仅是阅读数学著作，更是试图理解这些作品是如何从其所在的文化和人类关怀中产生出来的。

7. 介绍讨论嘉宾：

   • David Nirenberg（主持人）：高等研究院Leon Levy教授兼院长，将主持讨论。
   • Karen Uhlenbeck：数学学院杰出访问教授，常规参会者。
   • Gavin Menon：Eric Ellenuk Fellow，来自布朗大学，是研讨会的共同组织者。
   • Alma Steinhart：社会科学学院Robert Digraph成员，来自哥伦比亚大学历史系，作为历史学家参会。

第二部分 个人感悟与收获 （20% - 45%）

1. David Nirenberg的开场提问：

   • 肯定了研讨会的价值，并引用研究院首任院长Abraham Flexner的理念：数学学院应尽可能广泛地涉猎，对数学史和哲学应与数学实践同样热情。
   • 向每位嘉宾提问：在如此多样化的阅读材料中，什么给你留下了最深刻的印象？什么改变了你对自己领域的认知？

2. 历史学家Alma Steinhart的视角：

   • 自我定位：承认自己是研讨会中的“闯入者”（历史学家）。
   • 第一个发现：文本的复杂性：注意到历史文本与当代数学论文的巨大差异。过去的文本不仅包含数学内容，还融入了认识论、哲学、神学和叙事性解释。这种陌生感引发了持续的讨论，并提出了一个问题：既然过去的形式可以不同，未来的数学文本形式是否也可能改变？
   • 第二个发现：与政治理论的类比：意识到数学家们所做的，类似于政治理论家反复研读霍布斯、卢梭等经典文本。通过回溯旧文本进行诠释，试图理解牛顿等思想家的思考过程，并从中获得对当下问题的启示。

3. Gavin Menon的视角：

   • 整体感受：享受整个参与过程以及与Akshay合作创建这样一个广泛社区的乐趣。
   • 知识背景：自认不是一个纯粹数学家，而是“不纯的”数学家，智力上极为“混杂”。因此，研讨会对他来说是一种愉悦。
   • 第一学期的重点：与Akshay共同构建一部计算机的思想史，通过考察19世纪数学本质（几何学演变）和物理法则特征的平行基础危机。阅读了麦克斯韦和马克思，发现了思想家之间的共同主题（如黎曼回溯康德，马克思被列宁厌恶）。
   • 第二学期的转变：
     • 重读牛顿：尽管从小接触牛顿力学，但阅读原始资料彻底改变了他的看法。理解了牛顿的信仰、他对机构的看法，以及他关于《但以理书》预言的研究。牛顿的文字充满了强烈的精神动力，仿佛一个活生生的、充满激情的人跃然纸上。
     • 对当下的反思：感受到数学正处于快速变化期，机构面临危机，世界处于危机之中。而数学作为一种连续的知识源泉，能将我们带回几个世纪前。
   • 意外之喜：历史档案：感谢Alma提供了数学家Norman Steenrod与其导师的通信档案。
     • Steenrod的背景：一位一流的拓扑学家，出身于俄亥俄州代顿市的模具厂工人家庭。
     • 信件内容：从1932年开始，Steenrod的信件展现了其强烈的热情。例如，“如果你在乎我寄给你的定理，我向你保证没关系，我不需要它们。你看，它们是用血和汗铭刻在我脑海里的。”以及“我非常想知道数学到底是什么。”
     • 信件趣闻：Steenrod在普林斯顿的第一印象是“这是个悠闲的地方”，抱怨图书馆没有痰盂。他的导师Wilder则幽默地回应，建议他向董事会反映此事。

4. Karen Uhlenbeck的视角：

   • 核心发现：几何学的哲学根源：阅读19世纪几何学时，发现其根源更多来自哲学而非物理学。
     • 黎曼：他的著名演讲奠定了黎曼几何的基础，但其主要目的是反驳康德，论证空间概念不能脱离经验独立建构。
     • 亥姆霍兹：研究视觉后，认为仅靠视觉不足以认识空间，必须通过刚体运动来建立空间概念。
     • 影响：亥姆霍兹的思想被克莱因等人吸收回数学。
     • 结论：这些数学家的动机是哲学性的——感官如何与概念和思想相关联。

5. Akshay Wenitesh的视角：

   • 核心发现：宗教与真理：从柏拉图到开普勒，再到安德烈·韦伊的妹妹西蒙娜·韦伊，一个贯穿始终的主题是“数学是通往真理的唯一途径”。西蒙娜曾写信给哥哥，希望他能向大众解释他所知道的东西，因为那是获得真理的一种方式。
   • 个人立场：承认数学家在做数学时确实感觉在发现真理。但他本人更倾向于相信数学是被发明的，而不是被发现的。他以爱因斯坦的方程为例，认为它们并非描述宇宙的唯一方式，而是数学家发明的一种有用的方法。
   • 冲突与震撼：虽然不同意历史上大多数人的观点，但“数学是通往真理之路”这一观念的普遍存在给他留下了深刻印象。

第三部分 深度讨论：数学与人文的类比及时代驱动 （45% - 70%）

1. David Nirenberg的追问：类比是否稳健？

   • 针对Alma提出的数学家阅读历史文本与人文学者阅读卢梭的类比，提出疑问：数学家回顾历史文本时，是否像人文学者一样，找到了一种全新的方式来思考自己所知的领域？这种转变的本质是否相同？

2. 嘉宾们的回应：

   • Akshay：肯定地说，读牛顿确实学到了新东西，尤其是关于几何的新知识。数学语言随时间变化，有得也有失。老的语言适应了不同的需求。这不仅是技术层面的学习，也改变了他对一切起源的看法，从而影响了他思考“我应该做什么”。
   • Alma：从历史档案中多次看到，数学家回溯历史是为了寻找当时尚未成熟的想法，这些想法可以被重新拾取并用于当下的研究。
   • Gavin：将数学的发展趋势概括为两种对立倾向：一是走向更高的抽象和形式化；二是回溯历史时的“语境化”。阅读历史文本需要想象力和重构，这与人文主义的想象力相通。他认为，研讨会最重要的方面就是“让人物活起来”，培养对不同时期和数学演变的想象力，从而为数学的未来提供多种可能性。

3. David Nirenberg的新问题：下一届研讨会的主题

   • 假设明年举办续集，你会选择哪个从今年研讨会中浮现出的主题？

4. 嘉宾们的设想：

   • Karen：她感到困惑的是如何区分“大趋势”和“个别特例”。例如，女性在数学中的表现，既有从古至今的杰出个体，也有第二次女权主义浪潮带来的社会性变革。这个问题对AI也同样适用：它是一场改变思维方式的大变革，还是某个会逐渐消失的奇特现象？
   • Akshay：他强调与历史学家对话的重要性。历史学家能发现数学家通常不会去查阅的资料（如通信），从而揭示数学演变的另一种理解。他希望在任何未来版本中保留这种跨学科对话。
   • Gavin：他计划在布朗大学推广“数学民俗学”。他将以布朗大学开放课程的基础文件（Maxwell-Magazino报告）为核心，让所有学生阅读和讨论。他甚至想做一个“机械土耳其人”实验，让100名本科生在AI辅助下进行研究。
   • Alma：她提议尝试将一个特定时期的数学家和哲学家/逻辑学家的文本放在一起平行阅读，以“重现一场对话”。

5. David Nirenberg的最终问题：为何是现在？

   • 引用1941年研究院院长Idelot的报告，以及Marston Morse和冯·诺依曼的反驳信。Morse在信中主张数学既是艺术也是科学，数学家是最自由、最具个性的艺术家，他们的研究实际上是“对人类心智的研究”。
   • 提问：历史上多次出现数学家意识到数学是对人类心智研究的时期（如基础危机）。是什么让你们在当下这个时刻，转向了“人本主义数学家”这个问题？

6. 嘉宾们的回答：

   • Karen：对她而言，这些问题并不新鲜。她从8岁就开始思考“时间是什么”。她一直对数学是被发现还是被发明感兴趣。但她认为，在AI之前，我们已经处于危机中——互联网使得任何观点都能找到证据，“真理”的概念已经消失。
   • Akshay：同意Karen的观点，并补充说，AI将改变我们的工作方式，使研究数学进入一个“价值危机”。我们必须决定哪些部分可以交给机器，哪些部分因其人类价值而必须保留。研讨会正是为此提供了一个智识基础。
   • Gavin：坚信康托尔的名言“数学的本质在于它的自由”。他希望年轻人能有他那样的机会。他将自己的角色视为数学的“管家”，要守护数学的人类精神，它是对抗部落主义的解药。他认为当前时代与20世纪50年代有许多相似之处（全球秩序崩溃、新技术涌现、对权威失去信任），而数学作为一个“硬性底线”至关重要。但这个核心需要由“毫不妥协的人类”来守护，而这具有脆弱性。解决方案来自地方性的对话和行动。
   • Alma：从历史学家的角度分析“为何是现在”。她将当前的数学危机与19世纪末20世纪初的“基础危机”相类比。当时，数学家开始质疑数学基础的确定性，引发了关于“什么是数”、“什么是点”的根本性问题。历史学家已证明，这场危机与更广泛的现代主义思潮（艺术、哲学、生理学）相连。她进而联系到Morse在二战前后的担忧：担心数学变得完全功利化。回到当下，数学正面临双重压力：一方面是人文学科遭受攻击，另一方面是AI带来的科学“常规化”威胁。数学恰好可以同时与这两者对话，思考“没有人文的科学”和“没有人类的科学”意味着什么。

第四部分 观众问答与结语 （70% - 100%）

1. 观众提问1：关于霍布斯的伪证

   • 问题：霍布斯发表了一个错误的化圆为方的证明，并在被指出错误后仍公开辩护。他是数学上愚蠢还是在装傻？
   • Alma回应：她不是霍布斯专家，但指出霍布斯因阅读欧几里得而深受影响，并将欧氏证明的思想应用于政治理论。这说明数学思想可以影响其他领域。

2. 观众提问2：牛顿为何使用图解？

   • 问题：牛顿不用方程而用图形，可能是因为方程依赖符号，而符号随国家和时代变化。几何图形则具有永恒性，便于后世理解。
   • Akshay回应：他认为牛顿可能更多是在思考过去，而非未来。牛顿对古代智慧怀有崇高的敬意，并刻意排斥代数。他可能认为欧几里得几何对他的同代人更具说服力。

3. 观众提问3：关于数学家的形象与性别

   • 问题（Joan Scott）：回到Karen提到的女性在数学中的“例外”地位。研讨会是否讨论了“数学家”这个形象的再现问题？例如，19世纪主张女性参与数学教育的人，常以美学为由，认为女性在这方面优于男性。
   • Karen回应：研讨会并未深入讨论这一点。她指出历史上的数学家群体是精英阶层，并非普通人。这种情况直到最近才有所改变，而AI可能会再次彻底改变“谁做数学”和“如何做数学”的问题。
   • Akshay补充：他错过了专门讨论女性与数学的那一周。但他认为，关于数学文化的讨论间接触及了这个问题，例如在不同时代和背景下，成为数学家的路径是不同的（如19世纪的德国 vs 20世纪30年代的Steenrod）。

4. 观众提问4：数学是关于知识还是其他？

   • 问题：数学是关于追求知识，还是关于某种精神状态？做数学时的快乐和心境是否比获取知识更重要？
   • Gavin回应：定义数学的尝试由来已久。每个数学家，从学生到研究者，都有自己的内在机制和概念。同一科学家在不同阶段可能有完全不同的看法（如Kolmogorov对概率论的两种框架）。他个人仍在探索中。
   • Alma补充：有一种悠久的传统，将数学视为探究人类思维极限的方式，思考什么是可知的、什么是可思想的。这个观念本身就有很长的历史。

5. 主持人结语：

   • 由于时间关系，宣布讨论结束，并引导大家向台上的嘉宾表示感谢。